Elena Moreno Gálvez, profesora de “Matemáticas y su Didáctica” en la Facultad de Ciencias de la Educación y el Deporte, investiga en matemática pura, en uno de los campos más abastracto de las ciencias exactas.

En este sentido, Moreno investiga y analiza la Teoría Métrica del Punto Fijo, una rama del Análisis Funcional que estudia condiciones para que una determinada función o aplicación tenga puntos fijos.

Recientemente acaba de publicar un artículo en la revista “Abstrat and Applied Analisys” titulado “The Fixed Point Theory for Some Generalized Nonexpansive Mappings” (“La Teoría del Punto Fijo para un tipo de aplicaciones no expansivas generalizadas”), junto a su director de tesis y profesor de la Universitat de València, Enrique Llorens.

Para conocer más sobre esta investigación, así como sobre el estudio de la matemática pura y otros aspectos como la enseñanza de las Mátemáticas en educación infantil y educación primaria, hemos hablado con Elena Moreno.

Querida profesora Moreno, usted se dedica a la investigación en “matemática pura”. Concretamente, desarrolla su trabajo sobre la Teoría Métrica del Punto Fijo. ¿Cómo podría hacer entendible esta teoría al gran público?

La Teoría Métrica del Punto Fijo es una rama del Análisis Funcional, subdisciplina del Análisis Matemático, que estudia condiciones para que una determinada función o aplicación tenga puntos fijos. Así, un punto fijo es un punto que permanece invariable por una función.

Por ejemplo, la función que consiste en elevar al cuadrado cualquier número real tiene como punto fijo al 1, ya que si elevamos 1 al cuadrado, nos da como resultado el mismo número 1. No todas las funciones tienen puntos así, por ejemplo, la función que consiste en sumar 1 a un número nunca da como resultado el mismo número de partida. Durante décadas se ha estudiado qué condiciones debe cumplir una función y en qué tipo de espacios deben definirse tales funciones para que tengan puntos fijos. El tipo de funciones de más interés para la Teoría Métrica del Punto Fijo son las funciones no expansivas, que son aquéllas que no aumentan las distancias entre los puntos a los que se aplican.

¿De qué trata y qué conclusiones han alcanzado, junto a su director de Tesis en el artículo “The Fixed Point Theory for Some Generalized Nonexpansive Mappings”?

En nuestra investigación hemos conseguido hacer menos restrictivas las condiciones para que una función tenga puntos fijos, con lo que podemos probar la existencia de tales para más funciones. Nos basamos en la idea de que las funciones no expansivas, tengan o no puntos fijos, siempre cumplen, en un dominio adecuado, lo siguiente: hay una sucesión de puntos de manera que sus imágenes respectivas están cada vez más cerca del propio punto. Se les llama sucesiones de puntos casi fijos. Las funciones que nosotros hemos definido y estudiado son aquéllas que acercan, en algún sentido, las imágenes de los puntos a las sucesiones de puntos casi fijos. Resulta que tales funciones cumplen muchas de las buenas propiedades de las no expansivas, pero además abarcan muchas más aparte de éstas.

Habitualmente, solemos preguntarnos si todas estas investigaciones tan abstractas tienen alguna aplicación concreta o que pueda usarse en otras disciplinas. En este caso, ¿cuál sería?

En disciplinas tan abstractas es común que al comienzo de una investigación no se pueda prever las aplicaciones concretas. Lo más habitual es que una aportación particular como la realizada por nosotros sólo se aplique al avance de la misma teoría abstracta, y en algún punto la teoría puede ser empleada en alguna disciplina un poco más concreta, como la Matemática Aplicada, y posteriormente quizá a la Física, Ingeniería, Economía. En particular, el estudio de la existencia de puntos fijos tiene aplicaciones en la Teoría de Ecuaciones Diferenciales, Optimización, Teoría de Juegos, Economía, Tratamiento de imágenes…

“Abstrat and Applied Analisys” es una publicación que goza de gran prestigio en el ámbito de la investigación en Matemáticas. ¿Cuál es su posición objetiva en cuanto a ranking y factor de impacto?

Esta revista se encuentra en el puesto número 8 de un total de 250 revistas indexadas en el campo de la Matemática pura, según el último ránking aparecido en el Journal Citation Reports publicado por Thomson Reuters. Su factor de impacto es de 1.442, que en Matemáticas es un factor muy alto, ya que es una disciplina en la que no se cita tanto como en otras. Mi director y yo estamos muy satisfechos de que nuestro trabajo haya sido publicado en una revista de esta categoría y por supuesto supone una garantía del interés del trabajo que nos ayudará a seguir investigando en esta línea.

Usted, como profesora en el Grado de Magisterio, está involucrada en la formación de los futuros profesores. El campo de las Matemáticas es uno de los más “complicados” para los estudiantes. ¿Qué deben saber los maestros para involucrar, cuando ejerzan en los centros escolares, a los alumnos?

Lo primero que deben saber es que enseñar Matemáticas es enseñar a los alumnos a razonar de manera lógica por sí mismos. A menudo se piensa que saber Matemáticas es repetir una serie de procedimientos, como aplicar un algoritmo o una fórmula, sin un solo error de cálculo. Pero como maestros, tienen que saber que lo importante es que los alumnos de Infantil y Primaria usen su propio razonamiento, y por tanto ellos deben estar muy formados para ser capaces de reconstruir el pensamiento de los niños, y saber reconocer qué razonamientos son correctos y cuáles erróneos, porque a veces razonamientos erróneos pueden llevarnos a las mismas conclusiones que los correctos. De hecho, en las primeras etapas a los niños suelen gustarles las Matemáticas, pero pierden ese gusto cuando se convierten en algo mecánico y repetitivo.

¿Y cómo lograrlo, tanto en Infantil como en Primaria?

En mi opinión, en Educación Infantil la enseñanza de las Matemáticas está más orientada a hacer al niño razonar y relacionar las ideas matemáticas con su entorno. Es necesario que el maestro saque todo el partido posible entonces a los recursos próximos al niño y al razonamiento informal de esta etapa. En Educación Primaria la labor del maestro es distinta, pues debe ser capaz de ponderar la importancia por una parte de relacionar con la vida cotidiana los conceptos matemáticos y por otra parte de reconocer que la Matemática es una disciplina formal y abstracta y el niño debe ir iniciándose poco a poco en el razonamiento lógico formal, atendiendo por supuesto a las características propias del pensamiento en cada edad. Junto con mis compañeros del equipo docente de Matemáticas en la titulación de Magisterio estamos concentrándonos en mejorar la formación de maestros aprovechando la implantación del plan de Bolonia, que nos ofrece ventajas como el cambio metodológico o la ampliación de créditos, que nos hacen ser optimistas en nuestro objetivo.

¿Qué cree que debería realizarse para hacer más “divulgativas” las investigaciones sobre Matemáticas, sino para el gran público, al menos, para aquel más formado y con cierto interés por las ciencias, en general?

Creo que los matemáticos tenemos un compromiso con nuestra disciplina, que consiste en que debemos alejar la visión de las Matemáticas como una disciplina cerrada y de pura repetición de unas técnicas inventadas por otros, y hacer ver que en realidad son una disciplina muy creativa donde los problemas surgen en ocasiones de la vida real y en otras ocasiones de la propia curiosidad humana. El propio hecho de plantearse preguntas es muy matemático.

Hasta donde yo conozco, hay poco trabajo de divulgación en investigación matemática, fuera del campo de la Educación, y esto provoca que el gran público no sepa a qué se dedica un matemático, si no es a dar clases. Creo que un buen camino es formarse en Historia de las Matemáticas, porque cuando haces ver a una persona cómo surgió un problema a partir del cual se desarrolló una teoría completa, suele despertar su interés. Además, cuando alguien te pregunta ‘¿Y qué haces en tu investigación?’, creo que debemos esforzarnos en buscar la manera de hacer entender la naturaleza de la investigación matemática y los problemas concretos a los que nos enfrentamos. Dicen que Einstein tenía un letrero en su despacho que decía ‘No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicárselo a tu abuela’.

Creo que la divulgación es también un buen trabajo en este sentido.

¿En qué proyecto o investigación está trabajando en la actualidad?

Mi director y yo continuamos en la misma línea de investigación, y actualmente estamos intentando generalizar nuestro trabajo a una clase de funciones más amplias, las multivaluadas, que en lugar de relacionar un punto con otro, relacionan un punto con un conjunto.

También trabajo con mi codirector Jesús García Falset en aplicaciones de la Teoría Métrica del Punto Fijo a la demostración de existencia de solución de problemas de ecuaciones integrales. Espero poder con ello completar mi tesis doctoral para poder leerla en los próximos meses.

Asimismo, queremos sentar las bases desde el equipo docente del área de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Educación y del Deporte de la UCV para iniciar proyectos de investigación propios en Didáctica de las Matemáticas, próximamente.